🧮 Investigación de operaciones y optimización de la red de suministro

1. Un modelo de programación lineal completo debe incluir, además de las restricciones lineales y las condiciones de no negatividad de las variables, ¿qué otros dos elementos?

1. Matriz de transición y vector de probabilidades
2. Restricciones de enteros y cotas de ramificación
3. Función objetivo lineal y variables de decisión
4. Función de costos y parámetros de sensibilidad

Todo modelo de PL se integra por función objetivo, variables de decisión, restricciones y no negatividad; los otros elementos citados pertenecen a otras técnicas (cadenas de Markov, programación entera). (Hillier, F. S. y Lieberman, G. J., Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 3)

2. ¿Cuáles son los cuatro supuestos fundamentales en los que se basa un modelo de programación lineal?

1. Aditividad, divisibilidad, sensibilidad y degeneración
2. Proporcionalidad, aditividad, divisibilidad y certidumbre
3. Linealidad, integralidad, factibilidad y optimalidad
4. Proporcionalidad, convexidad, estocasticidad y dualidad

La PL se sustenta en proporcionalidad, aditividad, divisibilidad y certidumbre de los parámetros; los otros términos mezclan conceptos de sensibilidad o de programación entera que no son supuestos de la PL. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 3)

3. El método símplex, algoritmo estándar para resolver problemas de programación lineal mediante tablas de iteraciones sucesivas, fue desarrollado en 1947 por:

1. Harold W. Kuhn
2. Leonid Kantorovich
3. John von Neumann
4. George B. Dantzig

Dantzig desarrolló el método símplex en 1947; Kuhn es el autor del método húngaro (distractor cruzado del tema de asignación) y von Neumann se asocia a la teoría de dualidad y de juegos. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, cap. 3; Hillier y Lieberman, cap. 4)

4. Un analista formula un modelo de programación lineal para un problema de mezcla de producción con una restricción de materia prima disponible (tipo menor o igual que) y una restricción de demanda mínima de mercado (tipo mayor o igual que). Al convertir el modelo a la forma estándar para resolverlo con la tabla símplex, ¿qué debe hacerse con la restricción de demanda mínima?

1. Sumarle una variable de holgura al lado izquierdo
2. Restarle una variable de excedente al lado izquierdo
3. Multiplicar ambos lados por menos uno sin agregar variables
4. Restarle una variable de holgura al lado derecho

Las restricciones de tipo mayor o igual se igualan restando una variable de excedente; la de tipo menor o igual (materia prima) se iguala sumando una variable de holgura, criterio que suele confundirse. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, cap. 3, forma estándar del modelo de PL)

5. Un ingeniero resuelve mediante tabla símplex un problema de maximización de utilidades y, en cierta iteración, la fila de indicadores (cj - zj) muestra los valores 3, -2 y 5 para las variables no básicas x1, x2 y x3, respectivamente. ¿Qué variable debe entrar a la base en la siguiente iteración?

1. x2, por tener el valor más cercano a cero
2. x1, por ser la primera variable de la tabla
3. x3, por tener el coeficiente más positivo
4. x2, por tener el coeficiente más negativo

En maximización entra a la base la variable no básica con el coeficiente cj - zj más positivo (x3 = 5); tomar el más negativo es el criterio de minimización, error típico al confundir ambos casos. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, cap. 3, regla de entrada de variables del método símplex)

6. En una tabla símplex, la columna pivote tiene los coeficientes 2, 4 y -1 en las filas de las variables básicas x3 = 20, x4 = 16 y x5 = 10, respectivamente. Al aplicar la prueba de la razón mínima para determinar qué variable sale de la base, ¿cuál es el resultado correcto?

1. Sale x5, con razón mínima de -10
2. Sale x3, con razón mínima de 10
3. Sale x4, con razón mínima de 16
4. Sale x4, con razón mínima de 4

Solo los coeficientes positivos de la columna pivote participan en la prueba (2 y 4); la razón mínima es 16/4 = 4, por lo que x4 sale de la base, mientras el coeficiente negativo de x5 se excluye por regla del método. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, cap. 3, prueba de la razón mínima)

7. Si un problema primal de programación lineal tiene 5 restricciones funcionales y 3 variables de decisión, su problema dual asociado tendrá:

1. 3 variables duales y 5 restricciones duales
2. 5 variables duales y 3 restricciones duales
3. 5 variables duales y 5 restricciones duales
4. 8 variables duales y 8 restricciones duales

El número de variables duales es igual al número de restricciones del primal (5) y el número de restricciones duales es igual al número de variables primales (3). (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6, teoría de la dualidad)

8. De acuerdo con el teorema de dualidad fuerte, cuando un problema primal de programación lineal tiene una solución óptima finita, ¿qué relación existe entre los valores óptimos de las funciones objetivo del primal y del dual?

1. El valor óptimo dual siempre es mayor que el primal
2. No existe relación numérica entre ambos valores óptimos
3. El valor óptimo dual siempre es menor que el primal
4. El valor óptimo dual es exactamente igual al primal

El teorema de dualidad fuerte establece que, si el primal alcanza un óptimo finito, el dual también lo alcanza y ambos valores óptimos coinciden exactamente. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6, teorema de dualidad fuerte)

9. En el plan de producción de una fábrica resuelto mediante programación lineal, el precio sombra de la restricción de horas-máquina resulta ser 45 pesos por hora. Dentro del rango de factibilidad, esto significa que si se dispusiera de una hora-máquina adicional, la utilidad óptima:

1. Permanecería igual, pues el recurso ya está saturado
2. Disminuiría en 45 pesos por unidad adicional
3. Aumentaría en 45 pesos por unidad adicional
4. Aumentaría en un 45 por ciento sobre el óptimo actual

El precio sombra mide la tasa de mejora del valor óptimo de Z por cada unidad adicional del recurso, dentro del rango de factibilidad; confundirlo con un porcentaje es un error común. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6-7, análisis de sensibilidad y precios sombra)

10. El problema de asignación, en el que se debe asociar de manera óptima un conjunto de n trabajadores con n tareas (asignación uno a uno), es un caso especial del problema de transporte en el que:

1. El número de orígenes siempre es mayor que el de destinos
2. Los costos de transporte son iguales entre todos los pares origen-destino
3. Todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno
4. La oferta total debe ser el doble de la demanda total

En el problema de asignación cada oferta y cada demanda valen uno (un trabajador, una tarea), lo que permite resolverlo eficientemente con el método húngaro. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, cap. 5, modelo de asignación)

11. El método húngaro, algoritmo eficiente para resolver el problema de asignación, fue formulado en 1955 por:

1. George B. Dantzig
2. Leonid Kantorovich
3. Jack Edmonds
4. Harold W. Kuhn

Kuhn formuló el método húngaro en 1955; Dantzig desarrolló el símplex y Edmonds es conocido por otros algoritmos de optimización combinatoria y de flujos, no por el húngaro. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, cap. 5, método húngaro)

12. Una empresa debe asignar 4 operarios a 3 máquinas disponibles buscando minimizar el tiempo total de operación, y desea resolver el problema con el método húngaro, el cual requiere una matriz cuadrada de costos. ¿Qué debe hacer antes de aplicar el algoritmo?

1. Eliminar al operario con el costo promedio más alto de la matriz
2. Agregar una máquina ficticia con costos de asignación iguales a cero
3. Duplicar la columna de la máquina con menor costo total
4. Restar el costo mínimo de cada columna sin agregar filas ni columnas

Cuando el problema no está balanceado, se agrega una fila o columna ficticia con costos cero para completar la matriz cuadrada que exige el método húngaro, en vez de eliminar operarios reales. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, cap. 5, variantes no balanceadas del modelo de asignación)

13. En el primer paso del método húngaro para un problema de asignación de minimización, se debe:

1. Dividir cada elemento de la matriz entre el costo total de la asignación
2. Sumar a cada elemento de cada fila el valor máximo de esa fila
3. Restar a cada elemento de cada fila el valor mínimo de esa fila
4. Restar a cada elemento de cada columna el valor máximo de esa columna

El algoritmo húngaro inicia reduciendo cada fila (restando su valor mínimo) y después cada columna, para generar los ceros que permiten identificar la asignación óptima. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, cap. 5, algoritmo húngaro)

14. Al aplicar el método húngaro a una matriz de costos de 5 por 5, después de reducir filas y columnas se requieren únicamente 4 líneas, horizontales y verticales, para cubrir todos los ceros de la matriz. Esto indica que:

1. El problema no tiene solución factible y debe declararse no balanceado
2. Ya se alcanzó la asignación óptima, pues el número de líneas es menor que 5
3. Se debe reiniciar el algoritmo tratando el problema como de maximización
4. Aún no se alcanza la solución óptima y la matriz debe ajustarse antes de continuar

La solución óptima se logra solo cuando el número mínimo de líneas de cobertura es igual al orden n de la matriz (5); con 4 líneas se debe generar más ceros restando el menor valor no cubierto. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, cap. 5, criterio de optimalidad del método húngaro)

15. Para resolver con el método húngaro un problema de asignación cuyo objetivo es maximizar las utilidades, como asignar vendedores a zonas para maximizar ventas, es necesario primero:

1. Aplicar el algoritmo húngaro directamente, sin ninguna transformación previa
2. Convertir la matriz sumando a cada elemento el valor mínimo de toda la matriz
3. Invertir el signo únicamente de la fila con mayor utilidad total
4. Convertir la matriz restando cada elemento del valor máximo de toda la matriz

El método húngaro está diseñado para minimizar; para maximizar se transforma la matriz restando cada elemento del valor máximo, generando una matriz de costo de oportunidad que preserva la asignación óptima. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, cap. 5, conversión de problemas de maximización a minimización)

16. Debido a que la matriz de coeficientes del problema de asignación, caso especial del problema de transporte, es totalmente unimodular, cuando los datos de oferta y demanda son enteros, la solución óptima obtenida es garantizadamente:

1. Degenerada, por lo que requiere variables artificiales adicionales
2. Múltiple, es decir, existen siempre varias soluciones óptimas simultáneas
3. Entera, sin necesidad de técnicas adicionales de programación entera
4. Fraccionaria, por lo que siempre debe redondearse

La unimodularidad total de la matriz garantiza que la solución óptima de PL sea entera cuando los datos son enteros, sin recurrir a ramificación y acotamiento. (Winston, W. L., Investigación de Operaciones: Aplicaciones y Algoritmos, Cengage, cap. 7, problemas de transporte y asignación)

17. ¿Cuál de los siguientes procedimientos NO forma parte del método húngaro para resolver el problema de asignación?

1. Reducir cada fila restando su valor mínimo
2. Trazar líneas mínimas que cubran todos los ceros de la matriz
3. Calcular variables de holgura y excedente por restricción
4. Reducir cada columna restando su valor mínimo

Las variables de holgura y de excedente son propias de la forma estándar del método símplex; el método húngaro opera directamente sobre la matriz de costos mediante reducciones y líneas de cobertura. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, cap. 5 (contrastado con cap. 3, método símplex))

18. En investigación de operaciones, la simulación se define principalmente como una técnica que permite:

1. Sustituir por completo el uso de datos históricos en el análisis de decisiones
2. Garantizar la solución óptima global de cualquier problema de programación entera
3. Encontrar de manera analítica el valor exacto de una función objetivo lineal
4. Imitar con un modelo el comportamiento de un sistema real para experimentar sin afectarlo

La simulación es una técnica descriptiva que imita el comportamiento de un sistema a través de un modelo; a diferencia de la PL, no busca ni garantiza un óptimo matemático. (Hillier, F. S. y Lieberman, G. J., Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, capítulo de Simulación de sistemas)

19. La simulación resulta especialmente útil frente a los modelos analíticos de investigación de operaciones, como la programación lineal, cuando:

1. Se requiere garantizar matemáticamente el óptimo global del sistema
2. El sistema es demasiado complejo o aleatorio para obtener una solución analítica cerrada
3. Las restricciones del sistema son todas lineales y los parámetros se conocen con certeza
4. El número de variables de decisión del sistema es menor a tres

La simulación se emplea cuando la complejidad o la incertidumbre del sistema, como colas o demandas aleatorias, impide un tratamiento analítico exacto; si el sistema es lineal y determinista, la PL es preferible por garantizar el óptimo. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, capítulo de Simulación)

20. El método de Monte Carlo, base de muchas simulaciones estocásticas, consiste esencialmente en:

1. Ordenar de manera secuencial los eventos futuros sin considerar variabilidad
2. Resolver el sistema de ecuaciones lineales asociado a las restricciones del modelo
3. Calcular de forma determinista todas las combinaciones posibles de variables de decisión
4. Generar variables aleatorias con números pseudoaleatorios para estimar el comportamiento del sistema

El método de Monte Carlo utiliza números pseudoaleatorios para muestrear valores de variables aleatorias del modelo y estimar su comportamiento probabilístico, sin resolver el sistema de forma determinista. (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, capítulo de Simulación, método de Monte Carlo)

21. En una simulación de Monte Carlo del inventario de un almacén, la demanda diaria y su probabilidad acumulada son: 0 unidades con probabilidad acumulada 0.20; 1 unidad con probabilidad acumulada 0.55; 2 unidades con probabilidad acumulada 0.85; y 3 unidades con probabilidad acumulada 1.00. Si el número aleatorio generado, en escala de 0.00 a 0.99, es 0.62, ¿qué valor de demanda debe asignarse en esa iteración?

1. 0 unidades
2. 3 unidades
3. 1 unidad
4. 2 unidades

El número aleatorio 0.62 cae en el intervalo de probabilidad acumulada de 0.55 a 0.85, correspondiente a una demanda de 2 unidades; asignar 1 unidad sería usar por error el intervalo previo (0.20 a 0.55). (Taha, H. A., Investigación de Operaciones, Pearson, capítulo de Simulación, asignación de números aleatorios por intervalos de probabilidad acumulada)

22. En el desarrollo de un modelo de simulación, la etapa de validación consiste en:

1. Determinar el número óptimo de corridas o réplicas del experimento
2. Comprobar que el programa de cómputo está libre de errores de codificación
3. Definir el reloj de simulación y la lista de eventos futuros
4. Comprobar que el modelo representa adecuadamente el comportamiento del sistema real

La validación evalúa si el modelo refleja fielmente la realidad del sistema; la verificación, en cambio, comprueba que el modelo esté correctamente programado y libre de errores de código. (Law, A. M., Simulation Modeling and Analysis, McGraw-Hill; Hillier y Lieberman, capítulo de Simulación, verificación y validación de modelos)

23. Una simulación en la que el estado del sistema cambia solo en instantes específicos asociados a la ocurrencia de eventos, por ejemplo la llegada o salida de un cliente en un sistema de colas, se clasifica como simulación:

1. Continua
2. Determinística
3. De eventos discretos
4. De optimización combinatoria

La simulación de eventos discretos actualiza el estado del sistema únicamente cuando ocurre un evento, a diferencia de la simulación continua, donde el estado cambia de manera continua en el tiempo. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, capítulo de Simulación de eventos discretos)

24. Un analista simula el funcionamiento de un centro de llamadas durante 8 horas para estimar el tiempo promedio de espera en estado estable. Al iniciar la corrida, el sistema está vacío, sin llamadas en cola, condición que no representa la operación típica. Para obtener estimaciones representativas del estado estable, el analista debe:

1. Ejecutar una sola réplica de duración indefinida sin analizar el periodo inicial
2. Detener la simulación en cuanto el sistema quede vacío por primera vez
3. Utilizar únicamente los datos del primer minuto de la corrida
4. Descartar los datos del periodo inicial de calentamiento antes de calcular las estadísticas

Cuando el sistema inicia vacío, sus condiciones iniciales están sesgadas; se debe eliminar el periodo transitorio o de calentamiento para que las estadísticas reflejen el comportamiento en estado estable. (Law, A. M., Simulation Modeling and Analysis, McGraw-Hill, periodo de calentamiento en simulaciones de estado estable)

25. Una limitación importante de la simulación, en comparación con los modelos analíticos de optimización, es que:

1. Obliga a conocer de antemano la solución óptima exacta del sistema
2. No puede utilizarse para modelar sistemas con variables aleatorias
3. Evalúa el desempeño de las alternativas simuladas, sin garantizar que sean óptimas
4. Requiere que todas las restricciones del sistema sean estrictamente lineales

A diferencia de la PL, la simulación no busca ni garantiza el óptimo matemático; solo estima el desempeño de las políticas o escenarios que se decide probar, por lo que su calidad depende de las alternativas evaluadas. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, capítulo de Simulación, ventajas y desventajas)

26. En la teoría de dualidad de la programación lineal, si un problema primal tiene 5 restricciones funcionales y 3 variables de decisión, ¿cuántas variables tendrá el problema dual correspondiente?

1. 3
2. 8
3. 5
4. 15

El número de variables del problema dual es igual al número de restricciones funcionales del primal (5); confundir este dato con el número de variables primales (3) es un error común. (Hillier, F. S. y Lieberman, G. J., Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6 (Teoría de la dualidad).)

27. De acuerdo con el teorema de dualidad fuerte, cuando el problema primal de programación lineal tiene una solución óptima finita, ¿qué relación se cumple entre el valor óptimo del primal y el del dual?

1. Son iguales entre sí
2. El valor dual resulta mayor que el valor primal
3. El valor dual resulta menor que el valor primal
4. La relación depende del signo de las variables de holgura

El teorema de dualidad fuerte establece que si el primal alcanza un óptimo finito, el dual también lo alcanza y ambos valores óptimos coinciden exactamente. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6, teorema de dualidad fuerte.)

28. Una empresa resuelve con el método símplex un problema primal de maximización de utilidades y obtiene la solución óptima. Al revisar el reporte de sensibilidad, el analista observa que la restricción de disponibilidad de materia prima tiene holgura positiva en el óptimo (no se consume toda la materia prima disponible). Según la teoría de la dualidad, ¿qué valor debe tener la variable dual (precio sombra) asociada a esa restricción?

1. Igual al coeficiente de la función objetivo asociado a esa restricción
2. Igual al valor numérico de la holgura obtenida en el óptimo
3. Un valor positivo igual al precio de mercado del insumo
4. Igual a cero, porque la restricción no está activa en el óptimo

Por el principio de holgura complementaria, si una restricción primal no está activa (holgura positiva), su variable dual asociada debe valer cero. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6 (holgura complementaria y precios sombra).)

29. En la solución óptima de un problema de maximización, el precio sombra de la restricción de horas de mano de obra es de $12 por hora, válido dentro de un rango de factibilidad de 80 a 150 horas disponibles. Si la disponibilidad actual de 100 horas se incrementa a 120 horas, ¿en cuánto aumenta el valor óptimo de la función objetivo?

1. $1,200
2. $240
3. $1,440
4. $120

El precio sombra se aplica solo al incremento marginal del recurso (120−100=20 horas) y sigue siendo válido porque 120 está dentro del rango de factibilidad; 12×20=$240. Usar las 100 o las 120 horas totales en vez del incremento es un error frecuente. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6-7 (análisis de sensibilidad, precio sombra y rango de factibilidad).)

30. En el análisis de sensibilidad de un problema de maximización, el precio sombra de una restricción de recurso es válido dentro de un rango de factibilidad de 50 a 90 unidades. Si la disponibilidad del recurso se incrementa de 70 a 110 unidades, ¿qué puede afirmarse sobre el uso de ese precio sombra para estimar el cambio en la función objetivo?

1. Es válido para todo el incremento de 70 a 110 unidades, pues la base óptima no se modifica en ese tramo
2. Es válido solo para el tramo de 70 a 90 unidades, ya que más allá la base óptima puede cambiar
3. Es válido para todo el incremento, porque el precio sombra depende del valor de la función objetivo y no del rango de recurso
4. No es válido en ningún tramo, porque el incremento total rebasa la disponibilidad original de 70 unidades

El precio sombra solo es válido dentro del rango de factibilidad reportado (50 a 90 unidades); más allá de 90 la base óptima cambia y se requiere reoptimizar el modelo. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6-7, rango de factibilidad del análisis de sensibilidad.)

31. Al formular el problema dual a partir de un primal de maximización con restricciones de tipo 'menor o igual' y variables no negativas, ¿qué forma adopta el problema dual estándar correspondiente?

1. Minimización con restricciones 'menor o igual' y variables libres
2. Maximización con restricciones 'mayor o igual' y variables no negativas
3. Minimización con restricciones 'mayor o igual' y variables no negativas
4. Minimización con restricciones de igualdad y variables no negativas

La forma simétrica de dualidad convierte un primal de maximización con restricciones ≤ en un dual de minimización con restricciones ≥, ambos con variables no negativas. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6 (forma simétrica primal-dual).)

32. Un problema primal de programación lineal resulta infactible. De acuerdo con las relaciones de dualidad, ¿qué puede afirmarse sobre el problema dual correspondiente?

1. El dual conserva una solución óptima finita
2. El dual resulta infactible solo si el primal es no acotado
3. El dual y el primal comparten la misma región factible
4. El dual debe ser infactible o no acotado

Si el primal es infactible, el dual no puede tener un óptimo finito: solo puede ser infactible o no acotado, nunca alcanzar una solución óptima acotada. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6, relaciones de factibilidad y acotamiento primal-dual.)

33. Si un problema primal de programación lineal tiene 6 variables de decisión, ¿cuántas restricciones tendrá su problema dual asociado?

1. 6
2. 3
3. 12
4. 8

El número de restricciones del dual es igual al número de variables del primal; con 6 variables primales, el dual tendrá 6 restricciones. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6, teoría de la dualidad.)

34. El gerente de producción de una planta desea saber cuánto estaría dispuesto a pagar, como máximo, por una hora adicional de tiempo en la máquina cuello de botella, sin que cambie la base óptima actual. ¿Qué valor de la solución dual del modelo de programación lineal debe consultar para tomar esa decisión?

1. El costo reducido de la variable de decisión asociada
2. El precio sombra de la restricción de esa máquina
3. El valor de la función objetivo óptima
4. El coeficiente tecnológico de la restricción

El precio sombra indica la tasa marginal de mejora del valor óptimo por cada unidad adicional del recurso, y es el dato relevante para decidir cuánto pagar por más capacidad dentro del rango de factibilidad. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6-7 (interpretación del precio sombra).)

35. En el reporte de sensibilidad de un problema de minimización, una variable de decisión que permanece fuera de la base óptima (con valor cero) presenta un costo reducido de $8. ¿Qué interpretación es correcta para la toma de decisiones?

1. La variable ya forma parte de la solución óptima con un valor de $8
2. El precio sombra de la restricción asociada a esa variable es de $8
3. El coeficiente de costo de la variable debe disminuir $8 para que convenga incluirla en la base
4. El valor óptimo de la función objetivo aumentará $8 si se agrega una unidad de recurso

El costo reducido indica cuánto tendría que mejorar (disminuir, en minimización) el coeficiente de costo de una variable no básica para que resulte atractivo incluirla en la base óptima; no debe confundirse con el precio sombra, que corresponde a restricciones, no a variables. (Hillier y Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones, McGraw-Hill, cap. 6-7 (costo reducido en el análisis de sensibilidad).)